求 (cos²x − 4cos x + 3)/sin²x 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式。 在 $x=0$ 時 $\cos 0=1$，所以分子是 $1-4+3=0$，而 $\sin^2 0=0$。這個商是 $\tfrac00$，所以代入之前必須先做一些代數處理。

2. 2

   把分子當成 $u=\cos x$ 的二次式。 它在整數範圍內就可以分解：

   $u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\quad\Longrightarrow\quad \cos^2x-4\cos x+3=(\cos x-1)(\cos x-3)$

   因式 $\cos x-1$ 就是在 $x=0$ 變成零的那一個。

3. 3

   改寫分母，讓同一個因式現身。 利用畢氏恆等式，

   $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$

   現在分子與分母都含有 $1-\cos x$（差一個正負號）——這正是讓約分成為精確而非漸近的關鍵。

4. 4

   約分。 把 $\cos x-1=-(1-\cos x)$ 寫出來：

   $\frac{(\cos x-1)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-(1-\cos x)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}$

   它對 $0$ 附近所有滿足 $x\neq 0$ 的 $x$ 都成立，而求極限所需要的也就只有這些。

5. 5

   把值代入化簡後的式子。 它在 $x=0$ 現在是連續的：

   $\lim_{x\to 0}\frac{3-\cos x}{1+\cos x}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

6. 6

   用數值確認。 在 $x=10^{-3}$ 時原本的商等於 $1.0000005$，在 $x=10^{-4}$ 時等於 $1.000000005$——兩者都收斂到 $1$。$\checkmark$