解聯立方程式 x″ + y″ = t²、x″ − y″ = 4t，初始條件為 x(0) = 8、x′(0) = 0、y(0) = 0、y′(0) = 0。

Step-by-step solution

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   用相加與相減把方程組解耦。 這兩個方程式只涉及 $x''$ 與 $y''$ 的和與差，所以取線性組合立刻就能把它們分開——不需要拉普拉斯轉換，也不需要矩陣方法：

   $\text{相加：} 2x'' = t^2 + 4t, \qquad \text{相減：} 2y'' = t^2 - 4t$

   因此

   $x'' = \tfrac{1}{2}t^2 + 2t, \qquad y'' = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$

2. 2

   把 x″ 積分一次，並代入 x′(0) = 0。

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2 + C_1$

   令 $t = 0$ 得到 $0 = C_1$，所以

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2$

   每個常數一出現就立刻用對應的條件把它定下來，可以避免兩個常數被混在一起。

3. 3

   再積分一次，並代入 x(0) = 8。

   $x = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + C_2, \qquad C_2 = 8$

   $x(t) = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + 8$

4. 4

   對 y 重複同樣的步驟，兩個初始值都是零。

   $y' = \frac{t^3}{6} - t^2 + C_3, \qquad y'(0) = 0 \Rightarrow C_3 = 0$

   $y = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3} + C_4, \qquad y(0) = 0 \Rightarrow C_4 = 0$

   $y(t) = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3}$

   $y$ 與 $x$ 之間只差在三次項的正負號與常數 $8$——恰恰就是 $\pm 4t$ 所引入的不對稱。

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   驗證兩個微分方程式與四個初始條件。 微分兩次：

   $x'' = \frac{t^2}{2} + 2t, \qquad y'' = \frac{t^2}{2} - 2t$

   $x'' + y'' = t^2 \ \checkmark, \qquad x'' - y'' = 4t \ \checkmark$

   在 $t = 0$ 處：$x = 8$、$x' = 0$、$y = 0$、$y' = 0$——四個全部吻合。注意 $x - y = \frac{2t^3}{3} + 8$ 而 $x + y = \frac{t^4}{12} + 8$，正是那兩個解耦後的組合。