求 1/x 對 x 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出冪次法則在這裡為何失效。 法則 $\int x^{p}dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}$ 在 $p=-1$ 處崩壞，因為分母 $p+1$ 變成零。所以 $\int x^{-1}dx$ 是整個家族裡唯一的例外，需要它自己的答案。

2. 2

   從對數的導數出發。 當 $x>0$ 時 $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$，所以 $\ln x$ 是一個原函數——但只在正半軸上，因為 $\ln x$ 在 $x\le 0$ 處沒有定義。

3. 3

   處理負的 $x$，被積函數在那裡照樣好端端的。 $\dfrac1x$ 在 $x<0$ 時定義得好好的，所以它在那裡也必定有原函數。對 $x<0$ 寫 $|x|=-x$，再用連鎖律微分：

   $\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$

   得到的是同一個導數，這正是絕對值成為正確補丁的原因。

4. 4

   把兩種情形併成一條公式。

   $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\left|x\right|+C\qquad(x\neq 0)$

   若寫成 $\ln x+C$，就等於悄悄把答案侷限在 $x>0$，而對每一個負的輸入都給出沒有定義的式子。

5. 5

   注意常數的一個微妙之處。 由於定義域 $x\neq 0$ 被切成兩塊互不相連的部分，兩邊的常數其實可以不同：最一般的原函數是 $x>0$ 時的 $\ln|x|+C_{1}$ 與 $x<0$ 時的 $\ln|x|+C_{2}$。這對定積分是有影響的——跨過 $0$ 的積分，例如 $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$，是發散的瑕積分，而不是 $\ln 1-\ln 1=0$。