求 3cos(2x) = 2ln(x − 1) 的所有解。

Step-by-step solution

1. 1

   先確定定義域。 對數要求 $x-1>0$，所以每一個解都滿足

   $x>1$

   當 $x\to 1^{+}$ 時右邊趨於 $-\infty$，而左邊始終落在 $[-3,3]$ 之內，所以差函數 $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ 一開始是很大的正值。

2. 2

   把搜尋範圍限制住。 左邊的絕對值永遠不超過 $3$，所以有解就必須滿足 $|2\ln(x-1)|\le 3$，也就是

   $\ln(x-1)\le 1.5\;\Longrightarrow\;x\le 1+e^{1.5}\approx 5.4817$

   這一步把原本無界的搜尋範圍變成有限區間 $(1,\,5.4817]$——正是這一步讓「求出所有解」變成可以回答的問題，而不是漫無邊際。

3. 3

   找出 $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ 變號的位置。 掃過整個區間，$F$ 恰好變號三次：

   $F(1.2)>0>F(1.35),\qquad F(2.4)<0<F(2.6),\qquad F(3.5)>0>F(3.7)$

   在 $3.7$ 與 $5.48$ 之間，對數項已經完全佔上風，$F$ 一直是負的，所以不會有第四個交點。

4. 4

   用二分法把每個根逼近出來。 反覆把每個包夾區間對半切，得到

   $x_1\approx 1.283776,\qquad x_2\approx 2.490960,\qquad x_3\approx 3.584299$

5. 5

   把每個根代回去驗證。 把這三個值代入 $F$，分別得到 $-7.6\times 10^{-7}$、$-2.2\times 10^{-6}$ 與 $+1.6\times 10^{-6}$——以小數六位的輸入精度而言就是零 $\checkmark$。作為對照，附近的 $1.41538$、$2.40898$ 與 $3.55226$ 代進去得到 $F=-1.099$、$-0.370$ 與 $+0.170$，離零差得很遠，所以它們並不是解。