求 x³ + 2x² − 5x 的導數。

Step-by-step solution

1. 1

   逐項微分。 微分具有線性，所以和式可以一項一項處理，任何常數倍也只是一路跟著：

   $\frac{d}{dx}\bigl(u + v\bigr) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(cu\bigr) = c\,\frac{du}{dx}$

2. 2

   對三次項套冪次法則。 冪次法則是

   $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$

   所以

   $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$

   指數移到前面並減一 —— 它不會留在 $3$。

3. 3

   處理二次項與它的係數。

   $\frac{d}{dx}\left(2x^2\right) = 2 \cdot 2x = 4x$

   前面的 $2$ 完全不受冪次法則影響；被微分的只有 $x^2$，得到 $2x$，兩個係數相乘就是 $4$。

4. 4

   處理一次項。 取 $n = 1$，冪次法則給出 $\frac{d}{dx}x = 1$，所以

   $\frac{d}{dx}(-5x) = -5$

   一次項微分後永遠就是它自己的係數 —— 而如果原本有常數項，它會微分成 $0$。

5. 5

   組合並檢查。 把三塊加起來：

   $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

   在 $x = 2.5$ 用中央差分做數值檢查：$h$ 很小時 $\frac{f(2.5 + h) - f(2.5 - h)}{2h} \approx 23.75$，而 $3(2.5)^2 + 4(2.5) - 5 = 18.75 + 10 - 5 = 23.75$。額外一提，$f'(x) = 0$ 在有理數範圍內無法因式分解：由公式解得 $x = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$，所以這個三次函數的轉折點在 $x \approx 0.786$ 與 $x \approx -2.120$。