求 e 的 −x² 次方對 x 的積分。

Step-by-step solution

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   先試最顯然的代換，看它怎麼失敗。 令 $u=-x^{2}$ 得 $du=-2x\,dx$，可是被積函數裡沒有多餘的 $x$ 可以吸收掉它，代換根本湊不出來。分部積分也只會來回打轉，永遠化不簡。這不是技巧不夠，而是結構上就不行。

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   了解背後的理論結論。 由劉維爾關於有限項積分的定理，$e^{-x^{2}}$ 沒有初等的反導函數——不可能用多項式、根式、指數、對數與三角函數經過有限次運算寫出來。對比一下 $\int xe^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$，它之所以是初等的，恰恰是因為多出來的那個 $x$ 讓代換行得通。

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   把誤差函數當作定義引進來。 數學家乾脆給這個缺席的反導函數取了個名字：

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

   前面的係數 $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ 是刻意取的，為的是讓 $\operatorname{erf}(\infty)=1$，這樣 erf 在統計裡就能直接當作一個機率來用。

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   把定義反過來用，就得到答案。 對定義式求導得 $\operatorname{erf}'(x)=\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$，所以乘上 $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 就把那個正規化因子抵消掉：

   $\int e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C$

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   再和整條實數線上的定積分對照一下。 雖然初等的反導函數並不存在，這個定積分卻有一個著名的精確值：

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

   它是把積分平方後改用極座標算出來的。定積分有封閉形式，與不定積分沒有封閉形式，這兩件事完全可以並存。