求 (√(x + 11) − 6)/(x − 5) 在 x 趨近 5 時的極限，或說明它為何不存在。

Step-by-step solution

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   挑技巧之前先代入看看。 $\dfrac{\sqrt{u(x)}-c}{x-a}$ 這個外型通常暗示「把分子有理化」，但那只有在分子真的變成零時才正確。檢查一下：

   $\sqrt{5+11}-6=\sqrt{16}-6=4-6=-2$

   而分母是 $5-5=0$。所以形式是 $\dfrac{-2}{0}$，不是 $\dfrac{0}{0}$。

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   看看慣用的共軛技巧為什麼在這裡失效。 同乘 $\dfrac{\sqrt{x+11}+6}{\sqrt{x+11}+6}$ 得到分子 $(x+11)-36=x-25$，所以

   $\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=\frac{x-25}{(x-5)\left(\sqrt{x+11}+6\right)}$

   在 $x=5$ 時新的分子是 $-20\ne 0$；因式 $(x-5)$ 仍然孤零零地留在分母裡。什麼都約不掉，而這正是一個貨真價實的 $\tfrac{c}{0}$ 該有的樣子。（常見的失誤是把 $x-25$「分解」成 $(x-5)(x+5)$——可是 $(x-5)(x+5)=x^2-25$，不是 $x-25$。）

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   取兩個單側極限。 在 $x=5$ 附近分子接近 $-2<0$，所以這個商的正負號跟 $x-5$ 的正負號相反：

   $\lim_{x\to 5^{+}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=+\infty$

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   用數值確認。 在 $x=5.0001$ 時商約為 $-2.0\times10^{4}$；在 $x=4.9999$ 時約為 $+2.0\times10^{4}$。兩側往相反的方向奔去。

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   寫下結論。 因為兩個單側極限不一致（而且連有限都談不上），所以雙側極限不存在；直線 $x=5$ 是這個函數的鉛直漸近線。值得記住的一般規則是：只有 $\tfrac00$ 才是不定型——非零數除以零永遠是無窮極限或極限不存在，絕不會是有限值。