交換積分順序，並計算 e 的 y 三次方的二重積分，其中 x 從 0 到 2、y 從根號 2x 到 2。

Step-by-step solution

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   先看清為什麼原本的順序走不通。 內層積分要算 $\int e^{y^3}\,dy$，而 $e^{y^3}$ 沒有初等反導函數。這裡交換順序不是風格選擇，而是唯一能算完的路：先對 $x$ 積分會多出一個 $y^2$ 因子，那正是代換 $u=y^3$ 所需要的。

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   由積分上下限描述出區域。 上下限說的是 $0\le x\le 2$ 且 $\sqrt{2x}\le y\le 2$。下邊界 $y=\sqrt{2x}$ 是拋物線 $y^2=2x$ 的右半部，也就是 $x=\dfrac{y^2}{2}$。注意在 $x=2$ 處下限已經等於上限 $y=2$，區域在那裡閉合。

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   改成水平切片。 對固定在 $0$ 到 $2$ 之間的 $y$，區域從左邊界 $x=0$ 一路延伸到拋物線 $x=\dfrac{y^2}{2}$。所以

   $R=\left\{(x,y):0\le y\le 2,\ 0\le x\le \tfrac{y^2}{2}\right\},\qquad \int_0^2\!\!\int_0^{y^2/2} e^{y^3}\,dx\,dy.$

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   算內層積分。 $e^{y^3}$ 對 $x$ 而言是常數，所以它只是乘上切片的寬度：

   $\int_0^{y^2/2}e^{y^3}\,dx=\frac{y^2}{2}\,e^{y^3}.$

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   代換 $u=y^3$。 則 $du=3y^2\,dy$，即 $y^2\,dy=\tfrac{du}{3}$，而上下限 $y=0,2$ 變成 $u=0,8$：

   $\int_0^2\frac{y^2}{2}e^{y^3}\,dy=\frac{1}{6}\int_0^8 e^{u}\,du=\frac{1}{6}\left[e^u\right]_0^8=\frac{e^8-1}{6}.$

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   檢查數量級。 $\dfrac{e^8-1}{6}\approx 496.66$，而直接對原本的逐次積分做數值計算也得到 $496.66$，可見換序時區域描述得沒錯。