求 −5y 的三重積分，其中 x 從 −1 到 1、y 從 0 到 √(9 − x²)、z 從 0 到 9 − x² − y²，並給出精確值。

Step-by-step solution

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   先對 z 積分，因為被積函數不含 z。 由於 $-5y$ 相對於 $z$ 是常數，內層積分就只是被積函數乘上這根柱體的高度：$\int_0^{9-x^2-y^2}(-5y)\,dz=-5y\left(9-x^2-y^2\right)$。

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   替這個隨 x 變動的半徑取個簡寫。 令 $a^2=9-x^2$，於是 $y$ 的範圍從 $0$ 到 $a$，被積函數變成 $-5y(a^2-y^2)=-5\left(a^2y-y^3\right)$。命名 $a$ 讓代數式好讀，也看得出 $y$ 的積分為什麼會有這麼乾淨的形式。

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   做 y 的積分。 $\int_0^{a}\left(a^2y-y^3\right)dy=\frac{a^2\cdot a^2}{2}-\frac{a^4}{4}=\frac{a^4}{4}$，所以內兩層的結果是 $-\frac{5a^4}{4}=-\frac54\left(9-x^2\right)^2$。

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   展開並利用對 x 的偶性。 $\left(9-x^2\right)^2=81-18x^2+x^4$ 是偶函數，所以 $\int_{-1}^{1}=2\int_{0}^{1}$。最外層積分是 $-\frac54\cdot 2\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx$。

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   算出最後這個積分。 $\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx=\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=81-6+\frac15=\frac{376}{5}$。

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   合併得到精確值。 $-\frac54\cdot 2\cdot\frac{376}{5}=-\frac52\cdot\frac{376}{5}=-188$。

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   數值檢查。 對原本的三重積分做適應性數值積分，回傳 $-188.000000$（估計誤差 $2\times10^{-12}$），與精確值相符。