計算 x² − 8y 在 x 從 −2 到 −1、y 從 0 到 1 的矩形上的二重積分。

Step-by-step solution

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   先認出這是最簡單的情況。 $D$ 是矩形，所以上下限都是常數，積分順序也無所謂。這裡先對 $x$ 積：

   $\int_0^1 \int_{-2}^{-1} (x^2-8y)\,dx\,dy$

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   把 $y$ 當成常數，對 $x$ 積分。

   $\int (x^2-8y)\,dx = \frac{x^3}{3}-8yx$

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   代入 $x$ 的上下限。 在 $x=-1$：$-\tfrac{1}{3}+8y$。在 $x=-2$：$-\tfrac{8}{3}+16y$。相減得

   $\left(-\tfrac{1}{3}+8y\right)-\left(-\tfrac{8}{3}+16y\right) = \tfrac{7}{3}-8y$

   負的 $x$ 值是最容易弄錯正負號的地方——注意 $(-2)^3 = -8$，不是 $8$。

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   把結果對 $y$ 從 $0$ 積到 $1$。

   $\int_0^1\left(\tfrac{7}{3}-8y\right)dy = \left[\tfrac{7}{3}y-4y^2\right]_0^1 = \tfrac{7}{3}-4 = -\tfrac{5}{3}$