分析曲線 y = −2x²eˣ：求它的截距、極值點，以及 x 趨於正負無窮時的行為。

Step-by-step solution

1. 1

   先把整個函數的正負號定下來。 對每個實數 $x$ 都有 $x^2\ge0$ 且 $e^x>0$，所以

   $-2x^2e^x\le0$

   因此曲線完全落在 $x$ 軸上或下方，只有在 $x^2=0$ 處才會碰到它。先知道這一點，等於在微分之前就先排除了一半的圖形。

2. 2

   求截距。 令 $y=0$：因為 $e^x$ 永遠不為零，所以必須 $x^2=0$，也就是 $x=0$。$x$ 截距與 $y$ 截距都是同一個點 $(0,0)$。

3. 3

   用乘積律微分。 取 $u=-2x^2$、$v=e^x$：

   $y'=-4xe^x+\left(-2x^2\right)e^x=-2e^x\left(x^2+2x\right)=-2e^xx(x+2)$

   把 $-2e^x$ 提出來之後，臨界點一眼就看得出來。

4. 4

   找出臨界點。 因為 $e^x\neq0$，所以 $y'=0$ 就要求 $x(x+2)=0$：

   $x=0\qquad\text{或}\qquad x=-2$

   在 $x=0$ 時 $y=0$。在 $x=-2$ 時：

   $y=-2(-2)^2e^{-2}=-8e^{-2}=-\frac{8}{e^2}\approx-1.083$

5. 5

   由 y′ 的正負號來分類。 因子 $-2e^x$ 恆為負，所以 $y'$ 的正負號與 $x(x+2)$ 相反：$x<-2$ 時為負、$-2<x<0$ 時為正、$x>0$ 時為負。於是曲線先下降、再上升、又下降——在 $\left(-2,-\tfrac{8}{e^2}\right)$ 處是相對極小，在 $(0,0)$ 處是相對極大。這個極大值 $0$ 同時也是絕對最大值，與第 1 步的結論一致。

6. 6

   判斷兩端的行為。 當 $x\to-\infty$ 時，$e^x\to0$ 的速度遠快過 $x^2\to\infty$ 的成長速度，所以 $y\to0^-$：$x$ 軸是水平漸近線，而且是從下方趨近。當 $x\to+\infty$ 時兩個因子都在增大，$y\to-\infty$，急速下墜。所以整體形狀是：最左邊從下方緊貼著這條軸，在 $x=-2$ 處下探到 $-1.083$，再回升碰到原點，接著一路無界地落下去。

7. 7

   驗證關鍵數值。 用步長 $10^{-7}$ 的對稱差商，在 $x=-3,-1,0.5,2$ 各處都與 $y'=-2e^xx(x+2)$ 吻合 ✓。取樣值：$y(-4)=-0.586$、$y(-3)=-0.896$、$y(-2)=-1.083$、$y(-1)=-0.736$、$y(1)=-5.437$、$y(2)=-59.112$——全部重算過，既印證了 $x=-2$ 處的下探，也印證了右側的陡降 ✓。