求拋物線 y = x² 與直線 y = x + 2 所圍成區域的面積。

Step-by-step solution

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   先求出交點。 令 $x^2=x+2$ 得到 $x^2-x-2=0$，因式分解為 $(x-2)(x+1)=0$，所以兩條曲線相交於 $x=-1$ 與 $x=2$。這兩個值就是積分的上下限。

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   判斷哪一條在上方。 拿中間的 $x=0.5$ 來測試：直線給出 $2.5$，拋物線給出 $0.25$。在整個 $(-1,2)$ 上直線都在拋物線上方，所以被積函數是直線減拋物線。

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   列出積分式。 面積 $=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx$。用「上減下」可以保證被積函數為正，因此不需要絕對值，也不必分情況討論。

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   求反導函數。 $\int\left(x+2-x^2\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}$。

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   代入上下限。 在 $x=2$：$2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$。在 $x=-1$：$\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$。兩者相減得到 $\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

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   用數值方法確認。 對 $(x+2)-x^2$ 在 $[-1,2]$ 上套用辛普森法則，得到 $4.5000$，與 $\frac{9}{2}$ 平方單位一致。