求當 x 趨於 2 時 (1 + (x³ − 8)/(4x − 8)) 的 2x 次方的極限。

Step-by-step solution

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   動手之前先判斷這是什麼型。 在 $x=2$ 處分式 $\frac{x^3-8}{4x-8}$ 是 $\frac00$ 型，所以底數並不顯然等於 $1$——這未必是 $1^\infty$ 的情形。先把裡面的分式化簡，是什麼型自然就露出來了。

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   分子分母分別因式分解。 分子是立方差：$x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$。分母是 $4x-8 = 4(x-2)$。在趨近的過程中公因式 $x-2$ 不為零（我們從來不在 $2$ 這一點取值），所以可以約掉：$\frac{x^3-8}{4x-8} = \frac{x^2+2x+4}{4}.$

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   把底數重新拼起來。 $1+\frac{x^2+2x+4}{4} = \frac{4+x^2+2x+4}{4} = \frac{x^2+2x+8}{4}.$

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   分別求底數與指數的極限。 現在兩者在 $x=2$ 處都連續。底數：$\frac{4+4+8}{4} = \frac{16}{4} = 4$。指數：$2x = 4$。所以整體是 $4^4$ 這種普通的確定型——不是 $1^\infty$，也就不需要取對數或湊 e 的那套技巧。

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   算出結果。 $\lim_{x\to2}\left(1+\frac{x^3-8}{4x-8}\right)^{2x} = 4^4 = 256.$

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   數值確認。 在 $x=2.0001$ 處，式子的值是 $256.109$；在 $x=1.9999$ 處則略小於 $256$——從兩側同時逼近 $256$。