求當 x 趨於負無窮大時，n 從 1 到無窮大的 x^n/(n · n!) 之和的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先給這個和取個名字，並說明它處處收斂。 記

   $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,n!}$

   分母上的 $n!$ 讓收斂半徑成為無窮大，所以 $S$ 對每個實數 $x$ 都有定義，而且可以逐項求導。

2. 2

   求導，把礙事的因子 $n$ 消掉。

   $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n\,n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^{x}-1}{x}$

   $n$ 被約掉，剩下的級數就是指數級數減去它的 $n=0$ 項。正是這一步讓整道題變得可做。

3. 3

   再積回去，用上 $S(0)=0$。 $S$ 的每一項在 $x=0$ 處都為零，所以

   $S(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt$

   被積函數在 $t=0$ 處表現良好，極限為 $1$，因此沒有奇異點要操心。

4. 4

   看看被積函數在很靠左的地方長什麼樣。 當 $t\to-\infty$ 時 $e^{t}\to 0$，於是

   $\frac{e^{t}-1}{t}\approx\frac{-1}{t}$

   它在 $t<0$ 時是正的，而且只以 $1/|t|$ 的速度衰減——太慢了，積分根本安定不下來。

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   斷定這個積分發散。 把 $S(x)=-\int_{x}^{0}\frac{e^{t}-1}{t}dt$ 與 $\int_{x}^{0}\frac{-1}{t}dt=\ln|x|\to+\infty$ 相比較，可知積分無界增長，所以

   $\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\infty$

6. 6

   用數值確認這是對數級的速度。 直接對級數求和：$S(-10)=-2.8798$，$S(-20)=-3.5729$，$S(-30)=-3.9784$。漸近預測 $-\left(\ln|x|+\gamma\right)$（取 $\gamma=0.5772$）在 $x=-30$ 處給出 $-3.9784$ ✓——確實發散，但只是對數級的速度。