求 (tan x / x)^(1/x) 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

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   辨認不定型。 當 $x\to0$ 時 $\tan x\sim x$，所以底 $\tfrac{\tan x}{x}\to1$，而指數 $\tfrac1x\to\pm\infty$。這是 $1^{\infty}$——真正的不定型，因為一個略大於 $1$ 的底取極大的次方可以跑到任何地方。

2. 2

   取對數，把指數搬下來。 令 $L$ 為這個極限，

   $\ln L=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)$

   現在整個問題變成：底趨近 $1$ 的速度，跟指數爆炸的速度相比誰快？

3. 3

   把底展開到足夠的階數。 由 $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$，

   $\frac{\tan x}{x}=1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$

   關鍵的數字是那個 $x^2$：底以二次的速度趨近 $1$，比指數那單獨一個 $x$ 次方爆炸得更快。

4. 4

   套用 $\ln(1+u)\approx u$。 取 $u=\tfrac{x^2}{3}+O(x^4)$，

   $\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x^2}{3}+O(x^4)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{x}\ln\!\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\frac{x}{3}+O(x^3)$

5. 5

   取極限並把對數還原。 由於 $\tfrac{x}{3}\to0$（兩側皆然），所以 $\ln L=0$，而

   $L=e^{0}=1$

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   從兩側用數值確認。 在 $x=0.001$ 時該式等於 $1.000333$；在 $x=-0.001$ 時等於 $0.999667$。當 $x\to0$ 時兩者都向 $1$ 收攏，而兩側一致也確認了極限存在 ✓。