計算 x·y·e^(x²·y) 在區域 D = {−2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 5π/2} 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   選對內層變數，代換才用得上。 指數 $x^2y$ 對 $x$ 微分得到 $2xy$，而被積函數本來就帶著因子 $xy$。所以先對 $x$ 積分；若先對 $y$ 積分，就得改用分部積分。

2. 2

   在內層積分裡令 u = x² y。 此時 $du=2xy\,dx$，所以 $xy\,dx=\tfrac12\,du$。上下限的對應是 $x=-2\Rightarrow u=4y$ 與 $x=0\Rightarrow u=0$（注意 $x$ 是負的，但 $x^2$ 不是）。

3. 3

   算出內層積分。 $\int_{-2}^{0}xy\,e^{x^2y}\,dx=\frac12\int_{4y}^{0}e^u\,du=\frac12\left(e^0-e^{4y}\right)=\frac{1-e^{4y}}{2}$。$u$ 的上下限顛倒過來，正是結果在 $y>0$ 時為負的原因。

4. 4

   把結果對 y 積分。 $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}\,dy=\frac12\left[y-\frac{e^{4y}}{4}\right]_0^{5\pi/2}=\frac12\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{e^{10\pi}}{4}+\frac14\right)$。

5. 5

   把二分之一乘進去。 精確值為 $\frac{5\pi}{4}+\frac18-\frac{e^{10\pi}}{8}$。指數項完全主導了整個結果，因為 $e^{10\pi}\approx 4.4031\times 10^{13}$。

6. 6

   數值檢驗。 這個封閉形式的值是 $-5.5039382325749\times 10^{12}$，而對 $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}dy$ 做適應性數值積分同樣得到 $-5.5039382325749\times 10^{12}$，吻合到 13 位有效數字。