計算 e 的 −(x² + y²) 次方在區域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   不要伸手去拿極座標。 極座標是處理高斯型積分的標準技巧，但它只在區域是圓盤或整個平面時才幫得上忙。這裡的區域是正方形，邊界的 $r$ 會隨 $\theta$ 分段變化。正確的作法是改用分離變數。

2. 2

   把被積函數因式分解。 指數是一個和，所以指數函數是一個乘積：

   $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2} e^{-y^2}$

   因為上下限都是常數、每個因式又只含一個變數，這個二重積分就分裂成兩個單重積分的乘積：

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-x^2} e^{-y^2}\,dy\,dx = \left(\int_0^1 e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^1 e^{-y^2}dy\right) = \left(\int_0^1 e^{-t^2}dt\right)^2$

3. 3

   替這個一維積分命名。 函數 $e^{-t^2}$ 沒有初等反導函數，所以答案要用誤差函數來表示，其定義為

   $\operatorname{erf}(a) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^a e^{-t^2}\,dt$

   移項可得

   $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$

4. 4

   把它平方。

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\right)^2 = \frac{\pi}{4}\operatorname{erf}(1)^2$

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   算出數值並做合理性檢查。 取 $\operatorname{erf}(1) = 0.8427008$：

   $\frac{\pi}{4}(0.8427008)^2 = 0.5577463$

   在正方形上直接做數值積分得到 $0.55774629$，吻合到八位數字。上下界的檢查也通過：在面積為 $1$ 的區域上被積函數從 $e^{-2} \approx 0.135$ 變化到 $1$，而 $0.558$ 落在其間。