若函數在 x 趨近無限大時趨近 a、在 x 趨近負無限大時趨近 −a，它有幾條水平漸近線？

Step-by-step solution

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   回到定義——圖形的兩端要分開判斷。 直線 $y=L$ 是 $f$ 的水平漸近線，條件是當 $x\to+\infty$ 時 $f(x)\to L$，或當 $x\to-\infty$ 時成立同樣的極限。這兩個方向是彼此獨立的條件，這正是為什麼同一個函數可以有不只一條水平漸近線（垂直漸近線的條數沒有上限，但那是另一個理由）。

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   把定義套到兩個極限上。 在 $+\infty$ 處的極限 $a$ 讓 $y=a$ 成為漸近線，在 $-\infty$ 處的極限 $-a$ 讓 $y=-a$ 成為漸近線。只要 $a$ 是有限數，兩者都算數——無窮的極限根本不構成漸近線，那反而表示無界成長或存在斜漸近線。

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   開始數，並把 $a=0$ 單獨處理。 若 $a\neq0$，則 $a$ 與 $-a$ 是兩個不同的數，所以有兩條水平漸近線：

   $y=a\qquad\text{與}\qquad y=-a$

   若 $a=0$，則 $a=-a=0$，兩條線重合，就只剩一條漸近線 $y=0$。

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   做一個具體例子。 取

   $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

   當 $|x|$ 很大時 $\sqrt{x^{2}+1}\approx|x|$，所以 $f(x)\approx x/|x|$，在 $x$ 為正時是 $+1$、在 $x$ 為負時是 $-1$。數值上 $f(10^{8})=1$ 與 $f(-10^{8})=-1$ 的誤差都在 $10^{-12}$ 以內 ✓，所以這個函數有 $y=1$ 與 $y=-1$ 兩條漸近線——正是 $a=1$ 的情形。

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   記住可能的最大條數。 一個函數最多只能有兩條水平漸近線，一個方向一條，因為 $x\to+\infty$ 與 $x\to-\infty$ 各自只允許一個極限。標準例子有 $\arctan x$（漸近線 $y=\pm\pi/2$）與 $\tanh x$（漸近線 $y=\pm1$）——兩個都恰好是 $a$、$-a$ 的形狀。