求 2 除以 1 減 x 平方 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把分母因式分解。 $1-x^2=(1-x)(1+x)$：兩個相異的一次因式，這正是部分分式會給出兩個簡單常數的情形。注意順序寫成 $(1-x)$ 而不是 $(x-1)$ ——照這樣保留符號，後面就少一個負號要處理。

2. 2

   列出部分分式的拆解。 寫成

   $\frac{2}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}$

   再把分母清掉：

   $2=A(1+x)+B(1-x)=(A+B)+(A-B)x$

3. 3

   比較係數。 左邊沒有 $x$ 的項、常數項是 $2$，所以

   $A-B=0,\qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad A=B=1$

   因此 $\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}$。

4. 4

   逐塊積分，留意內層的導數。

   $\int\frac{dx}{1-x}=-\ln|1-x|,\qquad \int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|$

   第一個前面的負號來自連鎖律：內層的 $1-x$ 導數是 $-1$。把它忘掉，是這個積分主要的陷阱。

5. 5

   把兩個對數合併。

   $\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln|1+x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$

   在區間 $|x|<1$ 上，它與 $2\operatorname{artanh}(x)+C$ 是同一回事。

6. 6

   微分檢查。

   $\frac{d}{dx}\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}$

   原本的被積函數被還原了，確認答案正確。