求 1/x − floor(1/x) 在 x 從右側趨近 0 時的極限，其中 floor 表示高斯（最大整數）函數。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這個式子就是小數部分。 對任意實數 $t$，$t - \lfloor t \rfloor$ 就是小數部分 $\{t\}$，它恆滿足 $0 \le \{t\} < 1$。所以整個式子是 $\left\{\tfrac1x\right\}$，被困在 $[0,1)$ 裡——有界，但光是有界從來就證明不了極限存在。

2. 2

   看看裡面那個函數在做什麼。 當 $x \to 0^{+}$ 時 $\tfrac1x \to +\infty$。一個奔向無窮大的量，它的小數部分會一遍又一遍掃過 $[0,1)$，每增加一個單位就掃一次——而 $\tfrac1x$ 無界地增大，所以在任何區間 $(0,\delta)$ 裡它都掃了無窮多次。

3. 3

   造一個讓值恆為 0 的數列。 對整數 $n$ 取 $x_n = \tfrac{1}{n}$。那麼 $\tfrac{1}{x_n} = n$ 是整數，所以

   $\frac{1}{x_n} - \left\lfloor \frac{1}{x_n} \right\rfloor = n - n = 0$

   而且 $x_n \to 0^{+}$。

4. 4

   再造一個讓值恆為 1/2 的數列。 取 $y_n = \dfrac{1}{n + \tfrac12}$。那麼 $\tfrac{1}{y_n} = n + \tfrac12$，它的高斯函數值是 $n$，所以

   $\frac{1}{y_n} - \left\lfloor \frac{1}{y_n} \right\rfloor = \frac12$

   而且 $y_n \to 0^{+}$ 同樣成立。

5. 5

   用數列判準下結論。 如果極限存在而且等於 $L$，那麼每個趨近 $0^{+}$ 的數列都必須把函數值逼到 $L$。這裡兩個數列分別給出 $0$ 與 $\tfrac12$，所以這樣的 $L$ 不存在：

   $\lim_{x \to 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \text{ 不存在}$

   事實上，對任意 $c \in [0,1)$ 取 $x = \tfrac{1}{n + c}$，就能讓值恰好等於 $c$，所以 $[0,1)$ 裡的每個數都是子數列極限。