計算 (x + y)/(x² + y²) 在曲線 x³ + y³ = 3xy 的環所圍區域上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把邊界曲線化成極座標形式。 令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，曲線 $x^3+y^3=3xy$ 變成 $r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3r^2\cos\theta\sin\theta$，所以當 $r\neq0$ 時

   $r_{\max}(\theta)=\frac{3\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$

   它在 $\theta=0$ 與 $\theta=\pi/2$ 處為零、在兩者之間為正，因此 $\theta\in[0,\pi/2]$ 恰好描出那個環——葉形線上有界的那一段。

2. 2

   轉換被積函數，並留意 Jacobian 如何抵消。

   $\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r^2}=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{r}$

   由於 $dA=r\,dr\,d\theta$，Jacobian 裡的 $r$ 剛好把 $1/r$ 消掉：極座標下的被積函數完全不含 $r$。這正是這塊難纏的區域仍然可以處理的原因。

3. 3

   內層積分一行就做完。 既然已經不含 $r$，

   $I=\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,r_{\max}(\theta)\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\,d\theta$

4. 4

   用立方和公式約分。 因為 $\cos^3\theta+\sin^3\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(1-\cos\theta\sin\theta)$（中間那個因式靠 $\cos^2+\sin^2=1$ 化簡），$\cos\theta+\sin\theta$ 這個因式就被消掉了：

   $I=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}\,d\theta$

   注意 $1-\cos\theta\sin\theta\ge\tfrac12$，所以這是常義積分——沒有任何地方發散。

5. 5

   化成標準的 Weierstrass 型積分。 把 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$ 代入，再令 $\varphi=2\theta$：

   $I=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{3\sin\varphi}{2-\sin\varphi}\,d\varphi=\frac{3}{2}\left[-\pi+2\int_0^{\pi}\frac{d\varphi}{2-\sin\varphi}\right]$

   半角代換 $t=\tan(\varphi/2)$ 把剩下的積分變成 $\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2-t+1}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$。

6. 6

   組出封閉形式並做數值檢驗。

   $I=\frac{3}{2}\left(-\pi+\frac{8\pi}{3\sqrt3}\right)=\frac{4\pi}{\sqrt3}-\frac{3\pi}{2}=\frac{4\sqrt3\,\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}$

   數值上是 $7.255197-4.712389=2.5428085$，與直接對 $\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}d\theta$ 套用辛普森法則的結果吻合到小數點後七位 ✓。