求 yz 在區域 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、y² ≤ z ≤ 4 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認上下限彼此相容。 當 $0 \le y \le 2$ 時 $y^2 \le 4$，所以內層範圍 $y^2 \le z \le 4$ 全程非空，只在 $y = 2$ 處縮成一點。這個區域是拋物曲面 $z = y^2$ 與平面 $z = 4$ 之間的立體，沿 $x$ 方向拉伸。

2. 2

   對 z 積分，這次下限是變動的。

   $\int_{y^2}^{4} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_{y^2}^{4} = y\left(\frac{16}{2} - \frac{y^4}{2}\right) = 8y - \frac{y^5}{2}$

   下限平方後是 $(y^2)^2 = y^4$；忘了平方就會留下 $y^2$，答案也就跟著錯。

3. 3

   對 y 從 0 積到 2。

   $\int_0^2 \left(8y - \frac{y^5}{2}\right) dy = \left[4y^2 - \frac{y^6}{12}\right]_0^2 = 16 - \frac{64}{12} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

4. 4

   對 x 積分——被積函數已經不含 x 了。 化簡後的式子裡沒有任何 $x$，所以這一步只是乘上 $x$ 區間的長度：

   $\int_0^{2\pi} \frac{32}{3}\,dx = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$

5. 5

   寫出答案並做合理性檢查。

   $\iiint yz\,dV = \frac{64\pi}{3} \approx 67.02$

   拿它跟 $z$ 從 $0$ 積到 $y^2$ 的姊妹題比較：那題得 $\frac{32\pi}{3}$，而兩者相加必須等於在完整長方體 $0 \le z \le 4$ 上的積分，也就是 $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$。確實 $\frac{64\pi}{3} + \frac{32\pi}{3} = 32\pi$ ——一個完整的一致性檢查。