求 −8·cos(0.8·t²) 對 t 的不定積分。

Step-by-step solution

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   先認清它沒有初等的反導函數。 由劉維爾定理，$\cos(at^{2})$ 的反導函數無法用初等函數表示——這與 $\int e^{-t^{2}}dt$ 不是初等函數是同一種障礙。所以目標並不是靠代換「湊出」一個公式，而是用為此專門定義的標準特殊函數把答案寫出來。

2. 2

   回想菲涅耳餘弦積分的定義。 標準的正規化寫法是

   $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi u^{2}}{2}\right)du,$

   且 $C(0)=0$。任何形如 $\int\cos(at^{2})\,dt$ 的積分都能透過縮放化成這個形狀；要做的只是找對代換。

3. 3

   把括號裡的式子縮放到標準形式。 利用 $0.8=\tfrac45$，並尋找 $u=\lambda t$ 使 $\frac{\pi u^{2}}{2}=\frac45 t^{2}$。這就要求

   $\frac{\pi\lambda^{2}}{2}=\frac{4}{5}\;\Longrightarrow\;\lambda=\sqrt{\frac{8}{5\pi}},$

   又因為 $dt=\frac{du}{\lambda}$，於是一般地有

   $\int\cos(at^{2})\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\;C\!\left(\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

4. 4

   代入 $a=\tfrac45$ 並把常數化簡。 前面的係數是

   $\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot\frac45}}=\sqrt{\frac{5\pi}{8}},$

   再乘上被積函數前面的 $-8$：

   $-8\sqrt{\frac{5\pi}{8}}=-\frac{8}{2\sqrt2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{10\pi}.$

   $8/\sqrt8=\sqrt8=2\sqrt2$ 這一步化簡，是這裡唯一可能出錯的代數。

5. 5

   寫出答案並求導核對。 結果是

   $\int-8\cos(0.8t^{2})\,dt=-2\sqrt{10\pi}\;C\!\left(\sqrt{\frac{8}{5\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

   求導：$\frac{d}{dt}C(\lambda t)=\lambda\cos\!\left(\frac{\pi\lambda^{2}t^{2}}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}\cos(0.8t^{2})$，而 $-2\sqrt{10\pi}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}=-2\sqrt{16}=-8$ ✓。如果「0,8」裡的逗號本意是千分位符號，被積函數就成了 $\cos(8t^{2})$，答案相應變成 $-2\sqrt{\pi}\,C\!\left(\tfrac{4t}{\sqrt{\pi}}\right)$。