對每個 a > 0，判斷從 n = 2 加到無窮的級數 ln(1 + (−1)ⁿ / n^a) 是絕對收斂、條件收斂，還是發散。

Step-by-step solution

1. 1

   不要只盯著交錯的那一部分去判定。 這些項看起來是交錯的，讓人很想馬上套萊布尼茲判別法。但 $\ln(1+x)$ 不是奇函數：$\ln(1+t)$ 與 $\ln(1-t)$ 並不會互相抵消，而剩下來的那個偏差才是真正決定這道題的關鍵。所以應該先展開，而不是急著套判別法。

2. 2

   把對數展開。 令 $x_n=(-1)^n n^{-\alpha}\to 0$，並用 $\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+O(x^3)$，

   $\ln\!\left(1+\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}}_{\text{交錯項}}-\underbrace{\frac{1}{2n^{2\alpha}}}_{\text{恆為負}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)$

   第二項完全不變號——這就是那個隱藏的偏差。

3. 3

   先處理交錯的那一項。 對每個 $\alpha>0$，$\sum (-1)^n n^{-\alpha}$ 都由萊布尼茲判別法收斂（各項單調遞減趨於零），而且恰好在 $\alpha>1$ 時絕對收斂。所以這一項永遠不會造成發散。

4. 4

   再處理二次項——勝負就在這裡。 $\sum \tfrac{1}{2}n^{-2\alpha}$ 是 $p=2\alpha$ 的 $p$ 級數；它收斂的充要條件是 $2\alpha>1$，也就是 $\alpha>\tfrac12$。當 $\alpha\le\tfrac12$ 時這一項發散到 $-\infty$，而交錯項始終有界，所以整個級數就發散。

5. 5

   把三種情形拼起來。 餘項 $O(n^{-3\alpha})$ 被 $n^{-2\alpha}$ 那一項壓過去，所以它從來不會改變結論：

   • $\alpha>1$：兩部分都絕對收斂，因為 $\left|\ln\left(1+\tfrac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)\right|\sim n^{-\alpha}$ 而 $\sum n^{-\alpha}$ 收斂。
   • $\tfrac12<\alpha\le 1$：級數收斂，但 $\left|\ln(\cdot)\right|\sim n^{-\alpha}$ 且 $\alpha\le 1$，使得 $\sum|\cdot|$ 發散——所以是條件收斂。
   • $0<\alpha\le\tfrac12$：發散。
6. 6

   寫出結論。

   $\sum_{n=2}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)=\begin{cases}\text{絕對收斂}, & \alpha>1\\[2pt]\text{條件收斂}, & \tfrac12<\alpha\le 1\\[2pt]\text{發散}, & 0<\alpha\le\tfrac12\end{cases}$

   這道題的教訓是：碰到 $\ln(1+a_n)$ 而且 $a_n$ 交錯時，一定要先展開到二次項，再去套交錯級數的判別法。