計算 sin(9x)/cot(12x) 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

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   先弄清楚直接代入為什麼卡住。 在 $x=0$ 時分子 $\sin(9x)$ 趨近 $0$，而 $\cot(12x)=\cos(12x)/\sin(12x)$ 會爆掉。$0/\infty$ 這種形式並不是不定型，但餘切把這個事實藏了起來，所以先改寫再下判斷。

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   把餘切換成正弦與餘弦。 利用 $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$，除以 $\cot(12x)$ 就等於乘上它的倒數 $\tan(12x)$：$\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

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   檢查當 $x\to 0$ 時每個因式的走向。 正弦是連續的且 $\sin 0=0$，所以 $\sin(9x)\to 0$ 且 $\sin(12x)\to 0$。餘弦是連續的且 $\cos 0=1$，所以 $\cos(12x)\to 1$。關鍵在於分母不再趨近 $0$，因此既不需要約分，也不需要羅必達法則。

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   代入各自的極限。 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{0\cdot 0}{1}=0.$

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   用數值檢查合理性。 在 $x=0.01$ 時該式等於 $\sin(0.09)\tan(0.12)\approx 0.0899\times 0.1206\approx 0.01084$，在 $x=0.001$ 時大約是 $0.000108$——每當 $x$ 縮小 $10$ 倍，值就縮小大約 $100$ 倍，正是主導行為 $108x^2$ 所預測的。極限是 $0$。