求 i 從 1 加到 n 時 e^(1 + 2i/n) 的總和的封閉形式。

Step-by-step solution

1. 1

   把指數拆開，先分離出常數的部分。 利用 $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$，

   $e^{1+\frac{2i}{n}}=e\cdot e^{\frac{2i}{n}}\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e\sum_{i=1}^{n}\left(e^{2/n}\right)^{i}$

   $e$ 裡面沒有 $i$，所以可以直接提到求和符號外面。

2. 2

   認出等比的結構。 令 $r=e^{2/n}$，各項就是 $r,r^{2},\dots,r^{n}$：每一項都是前一項乘上固定的公比 $r$。這就是一個有限項等比級數，首項 $a=r$，共 $n$ 項——注意 $n$ 同時出現在項數與公比裡面。

3. 3

   套用有限項等比級數公式。 由 $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=a\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$，並取 $a=r$：

   $\sum_{i=1}^{n}r^{i}=r\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}$

   這個公式要求 $r\neq 1$，而對任何正的 $n$ 都有 $e^{2/n}>1$，所以條件成立。

4. 4

   化簡 $r^{n}$——這正是答案能這麼乾淨的原因。

   $r^{n}=\left(e^{2/n}\right)^{n}=e^{2}$

   所以

   $\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{2i}{n}}=e^{2/n}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   對 $n$ 的依賴全部縮進了 $e^{2/n}$ 這一個因子與分母裡。

5. 5

   乘回 $e$ 並解讀這個結果。

   $\sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e^{1+\frac{2}{n}}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   它恰好就是 $\int_{1}^{3}e^{x}dx=e^{3}-e$ 的右端點黎曼和的 $\tfrac{n}{2}$ 倍：乘上寬度 $\tfrac2n$ 再讓 $n\to\infty$，用 $e^{2/n}-1\approx\tfrac2n$ 就會還原出 $e\left(e^{2}-1\right)=e^{3}-e$ ✓。