求 2^x 在 x = 0 的泰勒級數展開式。

Step-by-step solution

1. 1

   把以 2 為底的次方換成以 e 為底。 反覆微分 $2^x$ 很麻煩，但任何指數都能用 $a = e^{\ln a}$ 換成以 $e$ 為底：

   $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$

   這樣問題就化成一個早已知道的級數了。

2. 2

   代入指數函數的級數。 由於對所有實數 $u$ 都有 $e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$，取 $u = x\ln 2$：

   $2^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}\,x^n$

3. 3

   確認這些係數與導數定義相符。 馬克勞林係數是 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，而 $\frac{d^n}{dx^n}2^x = (\ln 2)^n 2^x$，在 $x = 0$ 處等於 $(\ln 2)^n$。再除以 $n!$ 就得到同樣的係數——捷徑與定義完全一致。

4. 4

   寫出前幾項。 取 $\ln 2 \approx 0.6931472$：

   $2^x = 1 + 0.693147\,x + 0.240227\,x^2 + 0.055504\,x^3 + 0.009618\,x^4 + \cdots$

   與 $e^x$ 不同（它的係數只靠階乘縮小），這裡的係數縮得更快，因為 $\ln 2 < 1$ 每一項還額外貢獻一個衰減因子。

5. 5

   說明收斂半徑。 指數級數對每個實數 $u$ 都收斂，而只要 $x$ 有限，$u = x\ln 2$ 就有限，所以收斂半徑是無限大：這個展開式對所有 $x \in \mathbb{R}$ 都成立。

6. 6

   在 x = 1 抽查。 把前八項加起來得 $1 + 0.693147 + 0.240227 + 0.055504 + 0.009618 + 0.001333 + 0.000154 + 0.000015 = 1.999999$，如預期般收斂到 $2^1 = 2$。