求 (2x² + x − 3)/|x − 1| 當 x 趨於 1 時的極限，或說明它不存在。

Step-by-step solution

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   先確認這是未定型。 在 $x=1$ 處分子是 $2+1-3=0$，分母是 $|0|=0$，所以式子是 $\tfrac00$ 型，直接代入什麼也得不到。與同一個分子在 $x=-2$ 處的情形不同，這裡極限點恰好是絕對值的零點，所以結論會有本質上的差別。

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   用拆開中間項的辦法分解分子。 對 $2x^{2}+x-3$，要找兩個數，乘積是 $2\times(-3)=-6$，和是 $1$：它們是 $3$ 與 $-2$。於是

   $2x^{2}+3x-2x-3=x(2x+3)-1(2x+3)=(x-1)(2x+3).$

   因式 $(x-1)$ 恰好和絕對值裡的東西一致，這正是必須做單側分析的原因。

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   求左極限。 當 $x<1$ 時 $x-1<0$，所以 $|x-1|=-(x-1)$，於是

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{-(x-1)}=-(2x+3)\ \longrightarrow\ -(2+3)=-5.$

   因此 $\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-5$。

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   求右極限。 當 $x>1$ 時 $x-1>0$，所以 $|x-1|=x-1$，於是

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3\ \longrightarrow\ 2+3=5.$

   因此 $\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=5$。注意符號的樣態與上一種情形正好鏡像：分子取正值的那一側換到了另一邊。

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   下結論。 由於 $-5\ne5$，雙側極限不存在；函數在 $x=1$ 處有一個高度為 $10$ 的跳躍。可以對照 $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$：那裡分母不為零，極限就是單純的 $\tfrac33=1$。這裡的教訓是：只有當絕對值內部的式子在所討論的那一點上為零時，它才會帶來麻煩。