微分 y = e^x/(e^x + e^(−x))² 並化簡結果。

Step-by-step solution

1. 1

   把商改寫成乘積。 把分母用負指數搬上去，可以避開除法律那個笨重的分子：

   $y=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$

   現在乘法律 $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ 就派得上用場，其中 $u=e^{x}$、$v=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$。

2. 2

   分別微分兩塊。 對 $u$ 而言 $u'=e^{x}$。對 $v$ 而言，連鎖律需要內層的導數

   $\frac{d}{dx}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=e^{x}-e^{-x}$

   （第二項由它自己的連鎖律帶來一個負號），所以

   $v'=-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

3. 3

   組合成乘法律。

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}-2e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

4. 4

   提出最低次的冪。 公因式是 $e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}$ —— 要取比較負的那個指數，於是第一項會多留下一個因子 $\left(e^{x}+e^{-x}\right)$：

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left[\left(e^{x}+e^{-x}\right)-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)\right]$

5. 5

   化簡中括號並乘開。 把 $-2$ 分配進去：

   $e^{x}+e^{-x}-2e^{x}+2e^{-x}=-e^{x}+3e^{-x}$

   再乘上外面的 $e^{x}$，並利用 $e^{x}\cdot e^{-x}=1$：

   $e^{x}\left(-e^{x}+3e^{-x}\right)=-e^{2x}+3$

   就得到精簡的結果

   $\frac{dy}{dx}=\frac{3-e^{2x}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{3}}$

6. 6

   數值驗算並找出極值點。 取 $h=10^{-6}$ 的中央差分，在 $x=-1.2$、$0$、$0.7$ 與 $1.9$ 處都與這個公式吻合到 $10^{-6}$ 以內 ✓。導數在 $e^{2x}=3$ 時為零，也就是 $x=\tfrac12\ln3\approx0.5493$ —— 這是 $y$ 唯一的極大值點，而該處由 $+$ 轉 $-$ 的變號也確認了這一點。