求 x³ sin(7x⁴ + 3) dx 的積分。

Step-by-step solution

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   該選變數代換，而不是分部積分。 一看到乘積就想分部積分是本能反應，但這裡外層因子 $x^{3}$ 恰好（差一個常數）就是正弦裡面那一部分的導數。這正是該用 $u$ 代換的標誌，用分部積分只會把積分越弄越糟。

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   設好代換。 令

   $u=7x^{4}+3\qquad\Longrightarrow\qquad du=28x^{3}\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{du}{28}$

   常數 $\tfrac1{28}$ 正是用來吸收 $x^{3}$ 與 $28x^{3}$ 之間那點差額的。

3. 3

   把積分完全改寫成 $u$ 的形式。

   $\int x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)dx=\frac{1}{28}\int\sin u\,du$

   式子裡一個 $x$ 都不剩，這就是代換選對了的檢驗標誌。

4. 4

   積分後再代換回去。 由於 $\displaystyle\int\sin u\,du=-\cos u$：

   $\frac{1}{28}\left(-\cos u\right)+C=-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}+C$

   那個負號來自正弦的反導函數，也是這裡最容易被漏掉的東西。

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   求導驗證。 由連鎖律，

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}\right]=\frac{\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\cdot28x^{3}}{28}=x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\ \checkmark$

   在 $x=0.4$、$0.9$、$1.3$ 處的數值導數也在 $10^{-5}$ 以內吻合 ✓。那個 $28$ 恰好被約掉，這正是當初把常數取成它的全部理由。