證明 x = sin(kt) + cos(kt) 滿足微分方程式 x'' + k^2 x = 0。

Step-by-step solution

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   先規劃驗證的流程。 要確認一個候選解，就把它微分兩次、代進方程式，再檢查左邊是否恆等於零——對每一個 $t$ 都成立，而不是只在幾個取樣點成立。

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   微分一次，套用連鎖律。 內層函數是 $kt$，它的導數是 $k$，所以每一項都拿到一個 $k$ 的因子：

   $x'=k\cos(kt)-k\sin(kt)$

   注意正負號的互換：$\sin$ 微分後是 $+\cos$，但 $\cos$ 微分後是 $-\sin$。

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   再微分一次。 每一項又拿到一個 $k$ 的因子，正負號也再互換一次：

   $x''=-k^2\sin(kt)-k^2\cos(kt)$

   所以微分兩次會產生 $k^2$ 以及整體的變號——這正是正弦與餘弦的標誌。

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   把 -k^2 提出來，認出原來的函數。

   $x''=-k^2\left(\sin(kt)+\cos(kt)\right)=-k^2x$

   因為括號裡正好就是 $x$。

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   代進方程式。

   $x''+k^2x=-k^2x+k^2x=0\ \checkmark$

   這個恆等式對所有 $t$ 與所有 $k$ 都成立，所以這個函數確實是一個解。

6. 6

   說明它在物理上與結構上的意義。 $x''+k^2x=0$ 就是簡諧運動，而 $\{\cos(kt),\sin(kt)\}$ 張出它完整的二維解空間——所以 $\sin(kt)+\cos(kt)$ 就是兩個係數都等於 $1$ 的那個成員。它可以改寫成振幅-相位的形式 $\sqrt2\sin\!\left(kt+\tfrac{\pi}{4}\right)$，看得出振幅是 $\sqrt2$、週期是 $\tfrac{2\pi}{k}$。

7. 7

   做數值驗證。 取 $k=1.7$，用步長 $10^{-4}$ 的二階中央差分算出的 $x''$ 值，在 $t=0.3,\,1.1,\,-2.0$ 處與 $-k^2x$ 吻合到四位有效數字 ✓，而振幅-相位的改寫在每個測試點都與原式一致 ✓。