用球座標計算 x 平方加 y 平方加 z 平方在單位球 x 平方加 y 平方加 z 平方小於等於 1 上的三重積分。

Step-by-step solution

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   注意到被積函數與區域都具有徑向對稱性。 被積函數 $x^2+y^2+z^2$ 與邊界 $x^2+y^2+z^2=1$ 都只依賴到原點的距離。這就是該用球座標的明確訊號：在直角座標下這個積分需要層層套疊的根號上下限，換成球座標後上下限全是常數。

2. 2

   設定球座標代換，別漏掉 Jacobian。 取

   $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$

   被積函數縮成 $x^2+y^2+z^2=\rho^2$，而體積元素帶著 Jacobian 因子

   $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   $\rho^2\sin\phi$ 不是可有可無的形式細節 —— 它是座標變換在局部的體積伸縮因子，漏掉它是這個積分最常見的出錯方式。

3. 3

   寫出上下限。 單位球可描述為

   $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\phi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le2\pi$

   注意 $\phi$（極角，自 $+z$ 軸往下量）只跑到 $\pi$，而 $\theta$（方位角）跑完整的 $2\pi$。把這兩個範圍對調會把球重複算一次。

4. 4

   組出積分並拆開。 被積函數乘上 Jacobian 得 $\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi=\rho^4\sin\phi$，所以

   $\iiint_B\left(x^2+y^2+z^2\right)dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{1}\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   因為被積函數可分解成（$\rho$ 的函數）$\times$（$\phi$ 的函數）$\times$（對 $\theta$ 為常數），而且上下限都是常數，這個三重積分就拆成三個單變數積分的乘積。

5. 5

   分別算出三個因子。

   $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi=\big[-\cos\phi\big]_0^{\pi}=1+1=2,\qquad \int_0^{1}\rho^4\,d\rho=\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1=\frac15$

   相乘：

   $(2\pi)(2)\left(\frac15\right)=\frac{4\pi}{5}\approx2.5133$

6. 6

   檢查答案的量級。 球的體積是 $\tfrac43\pi\approx4.19$，被積函數 $\rho^2$ 從球心的 $0$ 變到球面的 $1$，所以積分必須嚴格落在 $0$ 與 $4.19$ 之間。$\rho^2$ 在球上的平均值是 $\tfrac{4\pi/5}{4\pi/3}=\tfrac35$，合理地大於 $\tfrac12$，因為球的體積大部分集中在靠外的殼層。在外接正方體上做蒙地卡羅估計得到 $\approx2.515$，印證了 $4\pi/5$。