求 9 減 x 平方在 x 趨近正無窮大時的極限。

Step-by-step solution

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   改寫算式，讓最高次項現形。 重新排列後 $9-x^2=-x^2+9$：這是一個最高次項係數為 $-1$ 的二次式。二次項在無窮遠處總是贏得這場競賽，所以它的正負決定了答案。

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   計算最高次項。 當 $x\to\infty$ 時 $x^2\to+\infty$，因此

   $-x^2\to-\infty$

   前面那個負號才是關鍵——學生常常只看 $x^2$ 就報成 $+\infty$。

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   加上常數。 對一個已經跌破任何下界的量再加上固定的 $9$，完全不會改變它的發散性：

   $9-x^2\to-\infty$

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   用數值確認。 在 $x=10$：$9-100=-91$。在 $x=100$：$-9991$。在 $x=1000$：$-999991$。輸出值無下界地遞減。

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   連結到圖形。 $y=9-x^2$ 是開口向下、頂點為 $(0,9)$ 的拋物線，所以兩臂都永遠往下掉；的確 $\lim_{x\to-\infty}(9-x^2)=-\infty$ 也成立。極限是 $-\infty$，意思是函數發散，而不是安定在任何有限值上。