求 1/n² 從 n = 1 加到無窮的總和。

Step-by-step solution

1. 1

   先確認收斂，再去找它的值。 這是 $p=2$ 的 $p$ 級數 $\sum n^{-p}$。積分審斂法拿它跟 $\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=1$ 比較，後者有限，所以這個級數收斂——不像 $p=1$ 的調和級數會發散。先把這一點確定下來，問「總和是多少」才有意義。

2. 2

   先粗略估個範圍，心裡有個底。 因為當 $n\ge 2$ 時 $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}$，而後者逐項相消之後總和是 $1$，所以扣掉首項之後的尾巴小於 $1$：

   $1<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<2$

   可見答案介於 1 與 2 之間——這是一道很好用的防線，可以擋掉算錯的封閉形式。

3. 3

   回想尤拉的想法：把 $\dfrac{\sin x}{x}$ 依它的根分解。 函數 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 時等於 $1$，並且在 $x=\pm k\pi$ 處為零，這暗示了下面這個無窮乘積

   $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}\pi^{2}}\right)$

   這等於把一個超越函數當成由根寫出來的多項式來處理，正是這一躍讓這個論證名留青史。

4. 4

   比對 $x^{2}$ 的係數。 把乘積展開，$x^{2}$ 的係數是 $-\displaystyle\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}$。而從泰勒級數 $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^{2}}{6}+\cdots$ 看，同一個係數是 $-\dfrac16$。兩者相等：

   $\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac16$

5. 5

   解出總和。

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1.6449340668$

   它舒舒服服地落在第 2 步給出的範圍內。直接把兩百萬項加起來會得到 $1.6449335668$，而少掉的那 $5\times 10^{-7}$ 正好就是尾巴 $\approx 1/N$ ✓。用現代的記號來寫，這個值就是 $\zeta(2)$。