求微分方程式 f''(x) = 2 滿足初始條件 f'(2) = 5 與 f(2) = 10 的特解。

Step-by-step solution

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   先規劃兩次反導與兩個常數。 題目給的是二階導數，所以要還原出 $f$ 得積分兩次，而每一次都會引入一個任意常數。這正是題目提供兩個條件的原因——一個條件消掉一個常數。照 $f''\to f'\to f$ 的順序積分，常數一出現就立刻把它定下來。

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   積分一次得到 $f'$。 常數 $2$ 的反導函數是 $2x$：

   $f'(x)=\int 2\,dx=2x+C_{1}$

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   用 $f'(2)=5$ 求出 $C_{1}$。 代入 $x=2$：

   $f'(2)=2(2)+C_{1}=4+C_{1}$

   令它等於 $5$ 得到 $C_{1}=1$，所以

   $f'(x)=2x+1$

   現在就把 $C_1$ 定下來，而不是一路帶著它，可以讓第二次積分乾淨許多。

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   再積分一次得到 $f$。 把 $2x+1$ 逐項求反導函數：

   $f(x)=\int (2x+1)\,dx=x^{2}+x+C_{2}$

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   用 $f(2)=10$ 求出 $C_{2}$。 代入 $x=2$：

   $f(2)=2^{2}+2+C_{2}=6+C_{2}$

   令它等於 $10$ 得到 $C_{2}=4$，所以特解是

   $f(x)=x^{2}+x+4$

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   驗證全部三項要求。 微分後得到 $f'(x)=2x+1$ 與 $f''(x)=2$，所以微分方程式成立。在 $x=2$ 處：$f'(2)=2(2)+1=5$ 且 $f(2)=4+2+4=10$。兩個初始條件都完全吻合。