求 xyz 乘上 e 的 −(x + y + z) 次方，在區域 0 ≤ x ≤ k、0 ≤ y ≤ k − x、0 ≤ z ≤ k − x − y 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這個區域是四面體。 巢狀的上下限正好就是條件

   $x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0, \quad x + y + z \le k$

   也就是頂點在原點以及 $(k,0,0)$、$(0,k,0)$、$(0,0,k)$ 的單體。這樣看待它，才能把只依賴 $x+y+z$ 的指數因子沿著等位面提出來。

2. 2

   利用指數在每個切片上都是常數這件事。 令 $u = x + y + z$。在 $x+y+z = u$ 的切片上，因子 $e^{-u}$ 是常數，所以只要知道每個切片上 $xyz$ 的「總量」，積分就化成對 $u$ 的單一積分。

3. 3

   算出 xyz 在子單體上的權重。 由縮放律，

   $\int_{x+y+z\le u} xyz\,dV = \frac{u^6}{720}$

   （三維區域上三次齊次的被積函數，縮放行為是 $u^{3+3} = u^6$；常數 $\frac{1}{720} = \frac{1!\,1!\,1!}{6!}$ 來自 Dirichlet 積分。）對 $u$ 微分就得到切片上的密度 $\frac{u^5}{120}$。

4. 4

   化成一維積分。

   $I = \frac{1}{120}\int_0^k u^5 e^{-u}\,du$

   這是一個不完全 gamma 積分，反覆用分部積分（或直接套標準的反導函數）得到

   $\int u^5 e^{-u}\,du = -e^{-u}\left(u^5 + 5u^4 + 20u^3 + 60u^2 + 120u + 120\right)$

5. 5

   在 0 與 k 之間取值。

   $\int_0^k u^5 e^{-u}\,du = 120 - e^{-k}\left(k^5 + 5k^4 + 20k^3 + 60k^2 + 120k + 120\right)$

   再除以 $120$：

   $I = 1 - e^{-k}\left(1 + k + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{6} + \frac{k^4}{24} + \frac{k^5}{120}\right)$

   括號裡正是 $e^{k}$ 的馬克勞林級數前六項——這就是正規化不完全 gamma 函數 $P(6, k)$，也等於平均數為 $k$ 的卜瓦松隨機變數大於等於 $6$ 的機率。

6. 6

   做數值檢查與極限檢查。 當 $k \to \infty$ 時 $I \to 1$；當 $k \to 0$ 時 $I \to 0$。對四面體做直接的巢狀數值積分，在 $k = 1$ 得 $0.0005941848$、在 $k = 2.5$ 得 $0.0420210382$、在 $k = 5$ 得 $0.3840393452$，每一個都與封閉形式吻合到小數點後十位。