求由曲線 y^2 - 2y + x^2 = 0、y^2 - 4y + x^2 = 0、x = 0 與 y = x*sqrt(3) 所圍成的面積 S。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這兩條曲線都是圓。 配方後，$x^2+y^2-2y=0$ 變成 $x^2+(y-1)^2=1$：半徑 $1$、圓心在 $(0,1)$ 的圓。同理 $x^2+y^2-4y=0$ 變成 $x^2+(y-2)^2=4$：半徑 $2$、圓心在 $(0,2)$。兩者都通過原點，並在該處與 $x$ 軸相切。

2. 2

   換成極座標。 由 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 得到 $r^2-2r\sin\theta=0\Rightarrow r=2\sin\theta$，以及 $r^2-4r\sin\theta=0\Rightarrow r=4\sin\theta$。通過原點的圓恰好具有這種乾淨的極座標形式，這正是為什麼極座標是這題該用的座標系。

3. 3

   把兩條直線換算成角度。 $x=0$ 是射線 $\theta=\tfrac{\pi}{2}$。直線 $y=x\sqrt3$ 有 $\tan\theta=\sqrt3$，所以 $\theta=\tfrac{\pi}{3}$。因此這個區域就是環狀扇形 $\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$、$2\sin\theta\le r\le 4\sin\theta$。

4. 4

   列出極座標的面積積分。 $S=\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2}\!\!\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} r\,dr\,d\theta=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{(4\sin\theta)^2-(2\sin\theta)^2}{2}\,d\theta=6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$。

5. 5

   使用降冪公式。 $\sin^2\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}$，所以 $\displaystyle\int\sin^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}$。

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   代入上下限求值。 在 $\theta=\tfrac{\pi}{2}$：$\tfrac{\pi}{4}-0=\tfrac{\pi}{4}$。在 $\theta=\tfrac{\pi}{3}$：$\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sin(2\pi/3)}{4}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$。兩者之差是 $\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{8}$，再乘上 $6$ 就得到 $S=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}$。

7. 7

   做數值檢驗。 $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}=1.570796+1.299038=2.869834$，而對 $6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$ 用 Simpson 法求值得到 $2.869834$，吻合到小數點後六位。