用隱函數微分求 x³ + x²y + y³ = 7 的 dy/dx。

Step-by-step solution

1. 1

   先想清楚為什麼要用隱函數微分。 這個關係式沒辦法乾淨地解出 $y$，所以改成把 $y$ 視為未知函數 $y(x)$，再對兩邊同時對 $x$ 微分。這麼一來，每次 $y$ 出現都會透過連鎖律帶出一個 $\frac{dy}{dx}$ 因子。

2. 2

   混合項用乘積律微分。 $x^{2}y$ 這一項是兩個 $x$ 的函數的乘積，所以 $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy .$ 在這裡漏掉 $2xy$ 那一半，是本題最常見的錯誤。

3. 3

   把其餘各項微分。 純冪次給出 $\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$；連鎖律給出 $\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$；常數則給出 $\frac{d}{dx}(7)=0$。全部合起來， $3x^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0 .$

4. 4

   把含 dy/dx 的項移到同一邊。 整理後， $\left(x^{2}+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2xy .$

5. 5

   解出來，並注意公式在哪裡失效。 相除得到 $\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+3y^{2}} .$ 只要 $x^{2}+3y^{2}\ne 0$ 它就成立，也就是除了原點以外處處成立；而原點並不在曲線上，因為 $0\ne 7$，所以這個公式在曲線上的每一點都有效。