在長方體 0 ≤ x ≤ 2π、π/2 ≤ y ≤ π、0 ≤ z ≤ a 上，求 (3a·z²·sin y + 2z³·sin y·cos y) 的三重積分，其中 a 是正的常數。

Step-by-step solution

1. 1

   善用缺席的變數。 被積函數裡完全沒有 $x$，而 $x$ 的上下限又都是常數。因此最外層的積分只貢獻一個區間長度：

   $I=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{0}^{a}\bigl(3az^{2}\sin y+2z^{3}\sin y\cos y\bigr)\,dz\,dy.$

   先看出這一點，還沒真正動手就已經消掉一整個變數。

2. 2

   把 $\sin y$ 與 $\cos y$ 當常數，對 $z$ 積分。 兩項都是 $z$ 的純次方：

   $\int_{0}^{a}3az^{2}\,dz=3a\cdot\frac{a^{3}}{3}=a^{4},\qquad \int_{0}^{a}2z^{3}\,dz=2\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{2}.$

   所以內層積分是

   $a^{4}\sin y+\frac{a^{4}}{2}\sin y\cos y=a^{4}\Bigl(\sin y+\tfrac12\sin y\cos y\Bigr).$

   注意參數 $a$ 完整地提成 $a^{4}$ ——答案必然與 $a^{4}$ 成正比。

3. 3

   把第一個三角項在 $[\pi/2,\pi]$ 上積分。

   $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\,dy=\bigl[-\cos y\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=-(-1)-(0)=1.$

4. 4

   用代換積第二項。 令 $u=\cos y$，$du=-\sin y\,dy$，於是 $\int\sin y\cos y\,dy=-\tfrac{u^{2}}{2}=-\tfrac{\cos^{2}y}{2}$。因此

   $\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\cos y\,dy=\frac12\left[-\frac{\cos^{2}y}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=-\frac14\bigl(1-0\bigr)=-\frac14.$

   負號是意料中的：在 $(\pi/2,\pi)$ 上正弦為正、餘弦為負，乘積積出來自然是負的。

5. 5

   把三個因子合起來。 $y$ 的積分是 $1-\tfrac14=\tfrac34$，所以

   $I=2\pi\cdot a^{4}\cdot\frac34=\frac{3\pi a^{4}}{2}.$

   代入 $a=2$ 並用適應性數值積分計算原本的三重積分，得到 $75.398224$，而 $\tfrac32\pi\cdot 2^{4}=24\pi=75.398224$ ——兩者一致。