把 M、Pg、Pv、t 與 b 都視為常數，求 V = 1000M(Pg - Pa) / [Pg(Pv - Pa)(1 + (t - 20)b)] 對 Pa 的偏導數。

Step-by-step solution

1. 1

   把不含 $P_a$ 的東西全部提出來。 只有兩個因子含 $P_a$，一個在分子、一個在分母。定義常數

   $C=\frac{1000M}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)},$

   於是

   $V=C\cdot\frac{P_g-P_a}{P_v-P_a}.$

   先把 $C$ 隔離出來，正是讓整個微分只需要一次商法則，而不必陷入商法則與乘積法則糾纏的關鍵。

2. 2

   對剩下的比值套用商法則。 令 $f=P_g-P_a$ 與 $g=P_v-P_a$，兩者的導數都是 $-1$：

   $\frac{\partial}{\partial P_a}\frac{f}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}=\frac{-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)}{(P_v-P_a)^{2}}.$

3. 3

   化簡分子。 兩個 $P_a$ 項互相抵消：

   $-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)=-P_v+P_a+P_g-P_a=P_g-P_v.$

   所以這個比值的導數是 $\dfrac{P_g-P_v}{(P_v-P_a)^{2}}$——常數分子除以一個平方。正是這次抵消讓答案如此精簡。

4. 4

   把常數因子放回去。

   $\frac{\partial V}{\partial P_a}=\frac{1000M\,(P_g-P_v)}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)\,(P_v-P_a)^{2}}.$

5. 5

   檢查正負號與特殊情形是否合理。 分母 $(P_v-P_a)^{2}$ 是正的，所以 $\partial V/\partial P_a$ 的正負號一次就由 $P_g$ 是否大於 $P_v$ 決定——它不會隨 $P_a$ 變動而改變。而若 $P_g=P_v$，導數恆等於零，這是對的，因為此時 $V=C$ 是與 $P_a$ 無關的常數。