求下列極限：(1) x 趨近 3 時 √(x² + 6x − 2) 的極限；(2) x 趨近 3 時 (x² + 2x − 15)/(x − 3) 的極限；(3) x 趨近 4 時 (√x − 2)/(x − 4) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   永遠先試直接代入。 如果把目標值代進去得到一個有定義的數，而且函數在那裡連續，那個數就是極限。只有當代入得到 $\tfrac00$ 這類未定型時，才需要進一步處理。

2. 2

   (1) 直接代入就成功。 在 $x=3$ 處根號內是 $9+18-2=25>0$，而 $\sqrt{\ }$ 在其引數為正的地方連續，所以

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{x^{2}+6x-2}=\sqrt{25}=5$

3. 3

   (2) 代入得到 0/0，所以要因式分解。 在 $x=3$ 處分子是 $9+6-15=0$，分母也是 $0$。由因式定理，$(x-3)$ 整除分子：

   $x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)$

   當 $x\neq 3$ 時公因式可以約掉；能約掉，正是因為極限從不在 $x=3$ 這一點上取值：

   $\lim_{x\to 3}\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+5)=8$

4. 4

   (3) 代入得到帶根號的 0/0，所以用共軛式。 分子分母同乘 $\sqrt x+2$：

   $\frac{\sqrt x-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt x+2\right)}$

   這裡用到 $\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)=x-4$。

5. 5

   約分後代入。

   $\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14$

   $\boxed{5,\qquad 8,\qquad \tfrac14}$

6. 6

   數值檢查。 在 $x=3.001$ 處：$\sqrt{x^2+6x-2}=5.0012$、$\tfrac{x^2+2x-15}{x-3}=8.001$。在 $x=4.001$ 處：$\tfrac{\sqrt x-2}{x-4}=0.24998$。三個都趨向所述的值。對 (3) 再加一層檢查：這個極限依定義就是 $\sqrt x$ 在 $x=4$ 處的導數，也就是 $\tfrac{1}{2\sqrt4}=\tfrac14$ ✓。