設 f 定義在 (0, 正無限大) 上，f(x) = (3 + 根號 x) / (4 倍根號 x)。求 x 趨近正無限大時 f(x) 的極限，以及 f(f(x)) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   與其硬碰不定型，不如把分式拆開。 照原樣看，$f(x)$ 是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。把分子的每一項各自除以分母，模糊就當場消失：

   $f(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{4}$

   因為 $x>0$ 時 $\sqrt{x}\neq 0$，這個改寫對每一個 $x>0$ 都合法。

2. 2

   直接讀出第一個極限。 $x\to+\infty$ 時 $\sqrt{x}\to+\infty$，所以 $\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\to 0$，於是

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   直線 $y=\tfrac14$ 是圖形的水平漸近線，而且因為 $\tfrac{3}{4\sqrt{x}}>0$ 恆成立，是從上方逼近。

3. 3

   不要把 $+\infty$ 代進外層函數。 對 $f(f(x))$ 而言，內層的值不會趨向無限大 —— 它趨向 $\tfrac14$。正確的工具是極限的合成法則：若 $x\to+\infty$ 時 $f(x)\to L$，且 $f$ 在 $L$ 處連續，則

   $\lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=f(L)$

4. 4

   檢查這條法則用得上。 這裡 $L=\tfrac14$ 落在定義域 $\left]0,+\infty\right[$ 內，而 $f$ 在那裡連續（它由 $\sqrt{x}$ 與一個分母 $4\sqrt{x}$ 在該區間上不為零的商組成）。而且對每個 $x>0$ 都有 $f(x)>\tfrac14>0$，所以內層的值確實始終待在外層 $f$ 的定義域裡 —— 在無限遠附近這個合成是良好定義的。

5. 5

   把外層函數在 $L=\tfrac14$ 求值。 因為 $\sqrt{1/4}=\tfrac12$：

   $f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3+\frac{1}{2}}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}$

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{4},\qquad \lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{7}{4}}$

6. 6

   用數值確認。 $x=10^4$ 時：$f(x)=0.2575$、$f(f(x))=1.72799$。$x=10^8$ 時：$f(x)=0.250075$、$f(f(x))=1.749775$。數值逐步逼近 $\tfrac14=0.25$ 與 $\tfrac74=1.75$，正如連續性論證所預測。