求 1/x² − 1/(3·√x) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把兩項都改寫成 $x$ 的冪次。 根號與倒數不清掉，冪次法則就用不上：

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2},\qquad \frac{1}{3\sqrt x}=\frac13x^{-1/2}$

   這一步的轉換才是真正決定勝負的地方；之後的一切都只是機械操作。

2. 2

   積 $x^{-2}$。 指數加一得到 $-1$：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   冪次法則之所以適用，是因為新的指數不是 $-1$；只有 $\int x^{-1}dx$ 才必須改用對數。

3. 3

   積 $\tfrac13x^{-1/2}$。 把 $-\tfrac12$ 加一得到 $+\tfrac12$：

   $\int\frac13x^{-1/2}dx=\frac13\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}x^{1/2}=\frac23\sqrt x$

   除以 $\tfrac12$ 等於把係數加倍，這就是 $\tfrac13$ 變成 $\tfrac23$ 的原因。

4. 4

   帶著負號合併，並補上一個常數。

   $\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\right)dx=-\frac1x-\frac23\sqrt x+C$

5. 5

   微分驗證。

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}-\frac23x^{1/2}+C\right)=x^{-2}-\frac23\cdot\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\;\checkmark$

   留意定義域：被積函數的根號要求 $x>0$，所以這個原函數在 $(0,\infty)$ 上有效。