求 1/(n · 2ⁿ) 從 n = 1 到無窮大的無窮級數和。

Step-by-step solution

1. 1

   求值之前先檢查收斂。 各項都是正的，而且 $\frac{1}{n2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}$，後者的和是收斂的等比級數 $\sum 2^{-n} = 1$。所以級數收斂，而且值最多是 $1$ ——這個界限稍後可以拿來對照最終答案。

2. 2

   回想對數（Mercator）級數。 當 $|x| < 1$ 時，

   $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$

   它是等比級數 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n \ge 0} x^{n}$ 從 $0$ 到 $x$ 逐項積分得到的反導函數。

3. 3

   把題目的一般項改寫成同樣的形狀。 把 $2^{n}$ 看成單一個數的次方：

   $\frac{1}{n\,2^{n}} = \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n}$

   於是這個級數正是 $\sum_{n\ge1} \frac{x^{n}}{n}$ 在 $x = \tfrac12$ 的情形，穩穩落在收斂半徑之內。

4. 4

   代入 x = 1/2。

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = -\ln\frac12$

5. 5

   化簡對數。 由於 $\ln\tfrac12 = -\ln 2$，

   $-\ln\frac12 = \ln 2$

   $\Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,2^{n}} = \ln 2$

6. 6

   數值確認。 把前兩百項加起來得 $0.6931471805599453$，而 $\ln 2 = 0.6931471805599453$ ——在雙精度下完全吻合，也安穩地低於第一步給出的上界 $1$。