求 y = x² / tan x 的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   辨認出除法律的各個零件。 把 $y=\frac{u}{v}$ 寫出來，其中 $u=x^2$、$v=\tan x$。除法律說 $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$；兩個乘積的先後很重要，所以要把 $u'v$ 放在前面。

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   微分分子。 由冪次法則，$u'=2x$。

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   微分分母。 正切函數的標準導數是 $v'=\sec^2 x$，它本身也可以由 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 再用一次除法律推出來。

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   組合成公式。 代入之後得到 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x\tan x-x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$。

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   用正弦與餘弦化簡。 把 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 與 $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ 代進去，再清掉繁分數，結果會變成 $\frac{2x\sin x\cos x-x^2}{\sin^2 x}$，這個形式在數值計算時比較好用。

6. 6

   注意定義域。 這個公式在 $\tan x$ 有定義且不為零的地方成立，也就是 $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ 且 $x\neq k\pi$。