對 x 求 sin(a · ln x) 除以 x 的 b 次方的不定積分，其中 a 與 b 是常數。

Step-by-step solution

1. 1

   用 $u=\ln x$ 代換，把對數從正弦裡面拿掉。 於是 $x=e^{u}$、$dx=e^{u}du$，所以

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\int\frac{\sin(au)}{e^{bu}}e^{u}\,du=\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du$

   原本對數與冪次混在一起的彆扭形式，現在變成了經典的「指數乘正弦」積分。

2. 2

   回想標準結果。 對於不同時為零的常數 $k$ 與 $a$，

   $\int e^{ku}\sin(au)\,du=\frac{e^{ku}\left(k\sin(au)-a\cos(au)\right)}{k^{2}+a^{2}}+C$

   它的證明是做兩次分部積分，再把原積分當成未知數解出來——積分會在等號右邊重新出現，這正是不需要做第三次分部積分的原因。

3. 3

   代入 $k=1-b$ 套用。

   $\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du=\frac{e^{(1-b)u}\left[(1-b)\sin(au)-a\cos(au)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

4. 4

   用 $e^{(1-b)u}=x^{1-b}$ 與 $u=\ln x$ 換回原變數。

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\frac{x^{1-b}\left[(1-b)\sin\left(a\ln x\right)-a\cos\left(a\ln x\right)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

   這個公式要求 $(1-b)^2+a^2\ne 0$，也就是 $a=0$ 與 $b=1$ 不能同時成立。

5. 5

   檢查特例並做數值驗算。 當 $b=1$ 時積分退化成 $\int\tfrac{\sin(a\ln x)}{x}dx$，而公式給出 $\tfrac{-a\cos(a\ln x)}{a^2}=-\tfrac{\cos(a\ln x)}{a}$，正好就是直接用 $u=\ln x$ 算出來的結果 $\checkmark$。數值方面，取 $a=1.7$、$b=0.4$，在 $x=0.7,\,1.3,\,2.5,\,4.0$ 各處對這個一般式微分，都能還原出被積函數到小數八位 $\checkmark$。