求 f(x) = e^(−x²)·sin(3x) 的一階與二階導數。

Step-by-step solution

1. 1

   架好乘法律。 取 $u = e^{-x^2}$ 與 $v = \sin(3x)$，兩個因式本身都是合成函數，所以各自的導數裡都要用連鎖律：

   $u' = e^{-x^2}\cdot(-2x) = -2xe^{-x^2}, \qquad v' = 3\cos(3x)$

   內導數 $-2x$ 與 $3$ 是這裡最常被漏掉的兩個因子。

2. 2

   組出一階導數並提公因式。

   $f'(x) = -2xe^{-x^2}\sin(3x) + 3e^{-x^2}\cos(3x) = e^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right)$

   把 $e^{-x^2}$ 提到前面，第二次微分才不會失控。

3. 3

   微分中括號裡的式子，以求二階導數。 令 $w = 3\cos 3x - 2x\sin 3x$。則

   $w' = -9\sin 3x - \left(2\sin 3x + 6x\cos 3x\right) = -11\sin 3x - 6x\cos 3x$

   $-2x\sin 3x$ 這一項要再用一次乘法律，同時貢獻 $-2\sin 3x$ 與 $-6x\cos 3x$。

4. 4

   再套一次乘法律。

   $f''(x) = u'w + uw' = -2xe^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right) + e^{-x^2}\left(-11\sin 3x - 6x\cos 3x\right)$

5. 5

   把正弦項與餘弦項各自合併。 餘弦項給出 $-6x - 6x = -12x$，正弦項給出 $4x^2 - 11$：

   $f''(x) = e^{-x^2}\left(\left(4x^2 - 11\right)\sin 3x - 12x\cos 3x\right)$

6. 6

   在 x = 0 處檢查。 由公式得 $f'(0) = 1\cdot(3 - 0) = 3$ 與 $f''(0) = 1\cdot(-11\cdot 0 - 0) = 0$。直接看，在 $0$ 附近有 $f(x) \approx (1-x^2)(3x - \tfrac{9x^3}{2}) = 3x + O(x^3)$，所以原點處的斜率是 $3$、二階導數為零 —— 兩者都得到確認。