求所有使 y = (x + 4)/(x + m) 在區間 (−∞, −7) 上遞增的實數 m。

Step-by-step solution

1. 1

   用分式線性函數的求導公式微分。 對 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 有 $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$，這裡 $a=1$、$b=4$、$c=1$、$d=m$：

   $y'=\frac{m-4}{(x+m)^{2}}$

2. 2

   加上正負號的條件。 只要 $y$ 有定義，平方的分母就是正的，所以「遞增」等價於

   $m-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad m>4$

3. 3

   加上極點的條件。 函數在 $x=-m$ 處有垂直漸近線。要在整個區間 $(-\infty,-7)$ 上都遞增，這條漸近線就必須落在區間之外：

   $-m\notin(-\infty,-7)\quad\Longleftrightarrow\quad -m\ge -7\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 7$

   注意端點是允許的：$m=7$ 時極點恰好落在 $x=-7$，而它並不是開區間 $(-\infty,-7)$ 的內點。

4. 4

   把兩個條件取交集。

   $4<m\le 7$

   $\boxed{m\in(4,\,7]}$

5. 5

   檢查三個邊界情形。 $m=4$ 時：$y=\tfrac{x+4}{x+4}=1$ 是常數——不遞增 ✗，所以 $4$ 要排除。$m=7$ 時：$y=\tfrac{x+4}{x+7}$，在 $(-\infty,-7)$ 上 $y'=\tfrac{3}{(x+7)^{2}}>0$ ✓，所以 $7$ 要納入。$m=8$ 時：極點 $x=-8$ 落在 $(-\infty,-7)$ 裡面，函數在那裡斷開，就不是在整個區間上遞增 ✗。

6. 6

   看出一般規律。 若 $y=\dfrac{x+p}{x+m}$ 在 $(-\infty,-q)$ 上遞增且 $q>p>0$，同樣這兩個條件會給出 $p<m\le q$——所以答案永遠是右端封閉的半開區間 $(p,q]$。