計算 ln x 對 x 從 0 到 1 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   動手算之前，先注意到這是瑕積分。 當 $x\to0^+$ 時 $\ln x\to-\infty$，所以被積函數在下端點是無界的。這個積分必須定義成極限：

   $\int_0^1\ln x\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\ln x\,dx$

   跳過這一步、直接代入 $0$，會得到沒有定義的 $0\cdot\ln 0$。

2. 2

   用分部積分求原函數。 取 $u=\ln x$、$dv=dx$，則 $du=\tfrac{dx}{x}$、$v=x$：

   $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C$

   選 $dv=dx$ 是這一步行得通的關鍵：它把 $\ln x$ 換成了 $1/x$，接著就與 $v=x$ 相消。

3. 3

   在 $[a,1]$ 上求值。

   $\int_a^1\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_a^1=(0-1)-(a\ln a-a)=-1-a\ln a+a$

4. 4

   在奇異端點取極限。 唯一棘手的項是 $a\ln a$。把它寫成 $\dfrac{\ln a}{1/a}$ 再套用羅必達法則，得到 $\dfrac{1/a}{-1/a^2}=-a\to0$。所以

   $\lim_{a\to0^+}\left(-1-a\ln a+a\right)=-1$

   雖然被積函數會發散，積分仍然收斂——這個奇異點是對數型的，因而可積。

5. 5

   檢查正負號與量級是否合理。 在 $(0,1)$ 上 $\ln x<0$，所以答案為負是意料中的事。因此 $\ln x$ 在 $[0,1]$ 上的平均值是 $-1$，而 $e^{-1}\approx0.368$ 恰好是 $\ln x$ 等於其平均值的那一點——與圖形一致 ✓。