求 yz 在區域 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ x² 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   注意是哪個變數在控制內層上限。 $z$ 的範圍從 $0$ 到 $x^2$ ——它依賴的是最外層的變數 $x$，而不是 $y$。這是合法的，也代表內層積分算完之後，$y$ 的積分可以完全獨立於 $z$ 進行。

2. 2

   把 y 當常數，對 z 積分。

   $\int_0^{x^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{x^2} = y \cdot \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4 y}{2}$

   上限平方後是 $x^4$，不是 $x^2$ ——最終 $\pi$ 的次方就在這一步決定。

3. 3

   對 y 從 0 積到 2。 現在 $x^4/2$ 是常數：

   $\int_0^2 \frac{x^4 y}{2}\,dy = \frac{x^4}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{2} = \frac{x^4}{2}\cdot 2 = x^4$

4. 4

   對 x 從 0 積到 2π。

   $\int_0^{2\pi} x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^5}{5}$

5. 5

   把次方化開。 由於 $(2\pi)^5 = 2^5\pi^5 = 32\pi^5$：

   $\iiint yz\,dV = \frac{32\pi^5}{5} \approx 1958.53$

   $2^5 = 32$ 一定要展開；寫成 $2\pi^5/5$ 就會差 $32$ 倍。另外注意 $\pi$ 在這裡沒有任何三角函數的意涵，它單純是數值上限 $2\pi \approx 6.2832$。